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1. Gruppen-Horpen

von mehlersoft (20.02.06 14:12:32)

Vorbemerkung für den Jugendleiter
In der ersten Stunde sollen die Grundlegenden Eigenschaften von Gruppen, als Beispiel werden dabei die Permutationsgruppen herangezogen. Permutationen sind einfach nur Angaben, welche Zahl auf welche andere abgebildet wird. So steht z.B. (132) dafür, dass die 1 auf die 3, die 3 auf die 2 und die 2 auf die 1 übergeht. (321) ist dabei genau, die selbe Permutation (einfach auch mal die Übergänge aufschreiben). Eine Permutation besteht aus Zykeln, die durch die Klammern beschränkt sind. So steht für die Übergänge (123)(456)(7):
1 -> 2
2 -> 3
3 -> 1
4 -> 5
5 -> 6
6 -> 4
7 -> 7
Mehrere Permutationen kann man auch hintereinander ausführen. So ist das Ergebnis von zwei Permutationen wieder eine Permutation: (123) und (234) sind unsere zwei Permutationen, das Ergebnis von (123)(234) bekommt man wieder über die Übergänge:
1 -> 2 -> 3
3 -> 1
=> (13)
2 -> 3 -> 4
4 -> 2
=> (24)
=> (123)(234) = (13)(24)
Begriflich werde ich mich dabei an Ausdrücken bedienen, die stellvertretend für die richtigen, von Sir John Brainard im Buch "Reise in das Innere der Mathematik" geprägt wurden.

1. Einstiegsspiel
Material:
DinA4-Blätter mit den Zahlen 1 bis die Hälfte der Kinderanzahl, dabei von jeder Zahl 3 Blätter
Säckchen mit verschiedenen Permutationen mit den selben Zahlen, wie die auf den Blättern
Für jede Zahl ein Blatt mit "(" und ")"

Beschreibung:
Die Zahlen mögen sich gegenseitig nicht. Deshalb möchte jede sein eigenes Appartment (also einen eigenen Zykel: (1)(2)(3)) bewohnen. Aber momentan wohnen viele zusammen. Ein Kind wird der "Permutator". Die anderen bekommen alle eine Nummer (hierbei muss jede Nummer dreimal vorhanden sein).
Der Permutator zieht 1 Permutationen aus dem Säckchen. Die Jugendlichen bilden dann diese Permutationen zweimal hintereinander (die Klammern-Zettel entsprechend hinzugeben). Jetzt ist von jeder Zahl noch ein Zettel übrig.
Der Permutator nimmt sich einen Zahlzettel, schnappt sich einen der übrigen Teilnehmer, stellt diesen vor die erste Gruppe, schaut, was aus dieser Zahl wird, gibt ihm den anderen Zettel und weiter geht es zur zweiten Gruppe. Dort das selbe und dann im Abstand dahinter stellen und einen "("-Zettel mitgeben. Dann mit der Zahl starten, die er hat, schauen, was aus ihr wird ...
Okay, ich hoffe, es ist klar, wie es läuft. Sollte nach dem Durchgang noch nicht jede Zahl im eigenen Appartment wohnen, einfach rechts neben das Ergebnis eine der beiden Permutationen stellen, die andere auflösen und wieder neu anfangen.

Lösung:
Zykle der Länge 1 (z.B. (1)) sind sofort im eigenen Apparment, Zykel der Länge 2 (z.B. (12)) nach dem 1. Durchlauf, Zykel der Länge 3 (z.B. (123)) nach dem 2. Durchlauf, ...

2. Einstiegsspiel
Material:
Jedes Kind bekommt einen Zettel, auf dem ein Quadrat vorgezeichnet ist
Stift
Lineal

Aufgabe:
1. Sie sollen so viele Spiegelachsen wie möglich einzeichnen. Danach die Ecken mit 1-4 beschriften.
2. Sie sollen so viele Drehungen wie möglich einzeichnen. Danach die Drehungen mit 5-8 bezeichnen.

Lösung:
4 Spiegelachsen und 4 Drehungen (90°, 180°, 270° und 360°) gibt es im Quadrat

Fragen zu den Einstiegsspielen:
Können wir jemals durch zwei Permutationen bzw. zwei Spiegelungen hintereinander keine Permutation mehr bekommen? (NEIN)
Gibt es eine Permutation bzw. Spiegelung/Drehungen, die nichts verändert? (Permutation: die wo alle im eigenen Appartment sind; Quadrat: Drehung um 360° )
Welche zwei Permutationen bzw. Spiegelungen/Drehungen können wir hintereinander ausführen, um wieder in den Ur-Zustand zu kommen?

Worum geht es hier eigentlich die ganze Zeit?
Die Spiegelungen/Drehungen des Quadrats und auch die Permutationen bilden eine Menge. Diese nennen wir Blorg. Elemente des Blorg nennen wir Zooks. Die Zooks verknüpfen wir mit der Operation "#", das nennen wir horpen. Diese Zooks erfüllen bestimmte Eigenschaften (dargestellt an den Zooks a, b, c):
- a # b = c
und c ist wieder ein Zook. Dies kann man einfach mal mit dem Quadrat ausprobieren, man führt verschiedene Drehungen/Spiegelungen hintereinander durch und schaut, ob man da, wo man ist, auch mit einem Zook ankommen könnte.
- a # id = a
es gibt ein Zook, was das Element nicht verändert (haben wir oben bei den fragen schon geklärt, id=Identität)
- a # a' = 1
a' ist hierbei das Zook, dass genau das Gegenteil von a macht (hierzu sei noch gesagt, dass a und a' auch das selbe Zook sein können, z.B. bei der Drehung des Quadrats um 180°)
- a # (b # c) = (a # b) # c
Das Ergebnis von 3 Zooks ist immer das selbe, egal in welcher Reihenfolge man es auführt

Abschluss: Sprung in die Realität
Blorgs findet man überall in der Welt. Die ganzen Zahlen (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) bilden z.B. einen Blorg mit der Verknüpfung "+". Zwei Zahlen verknüpft, ergeben eine dritte. Das Zook id, das nichts verändert, ist die 0). Zu jeder Zahl gibt es eine Inverse, nämlich die mit - davor. Und dass die Reihenfolge keine Rolle spielt, ist auch offensichtlich.

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